とうしても辞めてほしくない従業員が退職を申し出した場合、退職を認めないことはできるか。

雇用契約が期間の定めのないものであれば、労働者からの退職の申し出はいつでもできます。

退職を思いとどまるように慰留することは許されますが（執拗な場合は問題があります）、「拒否する」、「承認しない」などの対応により退職を阻害することはできません。

根拠となる法律は実は民法の６２７条第１項、第２項にあります。

第１項では、退職の申し入れの効力を「２週間経過後」としており、
第２項では、期間をもって報酬を定めた場合、その期間の前半に退職の申し入れたときは、その期間の終了をもって退職となり、期間の後半にもうしれたときは次の期間の終了をもって退職となります。

基本的には１か月ごとに給与（報酬）の計算を設定していますから、どんなに退職を拒否しても、末日締めの会社であれば１５日に申し入れした場合は当月末をもって退職となりますし、１６日以降であれば次月末をもって退職となるということです。もちろん、会社の承認は不要です。

従いまして、辞めてほしくない従業員の退職の申し出については、本人による翻意を説得により引き出すしかないということです。（何度も申し上げますが、過度の説得は「強要」とみなされますのでご注意を）

いずれにしても、従業員とよく話し合って協力を求めるしかないようです。